Chapter 06

강반전과 Square Law

학부 전자회로에서 가장 먼저 배우는 식 \(I_D=\tfrac{1}{2}\mu C_{ox}\tfrac{W}{L}(V_{GS}-V_T)^2\). 이 식은 틀리지 않았다 — 다만 강반전에서만 맞는다. 이 장에서는 제곱 법칙이 어디서 오고, 어디서부터 틀리기 시작하는지를 정량적으로 확인한다.

제곱 법칙은 어디서 오나

강반전에서 ψs는 거의 고정되므로 반전 전하는 게이트 전압에서 '문턱까지 쓰인 몫'을 뺀 나머지다. 채널 전위 V가 생기면 공핍 전하가 늘어나는 효과까지 선형화하면

\[ |Q_i(V)|\approx C_{ox}\,(V_{GS}-V_T-n\,V) \]

이를 Pao–Sah 적분에 넣으면 끝이다:

\[ I_D=\mu C_{ox}\frac{W}{L}\Big[(V_{GS}-V_T)V_{DS}-\frac{n}{2}V_{DS}^2\Big]\quad(V_{DS}Qi(V) = 0이 되는 V = (VGS−VT)/n에서 핀치오프 → VDsat = (VGS−VT)/n. 교과서의 n = 1 버전은 공핍 전하 변화를 무시한 것이다.
숨은 가정 두 개
  • Qi는 VT에서 정확히 0이고, 그 아래에서도 0이다 → 약반전 전류를 완전히 무시.
  • 전류는 드리프트뿐이다 → 확산을 무시. 둘 다 Qi가 클 때만 옳다.

제곱 법칙은 얼마나 맞나?

정확한 Pao–Sah 결과와 제곱 법칙을 같은 그래프에 놓고, 상대 오차를 VGS에 대해 그려 보자. 공정하게 비교하기 위해 VT는 강반전 √ID 직선에서 피팅한 값을 기본으로 쓴다 — 실무에서 제곱 법칙 파라미터를 뽑는 방식이다.

SIMULATOR

정확한 모델 vs 제곱 법칙 (포화, VDS = 2 V)

ID — 로그 축
제곱 법칙 오차 |Isq/Iexact − 1|
제곱 법칙 버전
VT 선택
Iexact
Isquare
오차
영역
결과(기본값: 피팅 VT ≈ 0.60 V, β/2n): 오차가 10% 아래로 내려오는 것은 VGS ≈ 1.0 V(IC ≈ 40), 1% 아래는 1.4 V 이상이다. 강반전 경계(IC = 10, VGS ≈ 0.77 V)에서도 오차는 여전히 약 30%. 즉 제곱 법칙은 강반전 안에서도 깊숙한 곳에서만 정확하다. VT 근처에서는 "전류 0"을 예측하지만 실제로는 수십 nA가 흐른다. VT를 2φF 정의로 바꾸면 강반전 ψs가 실제로는 2φF보다 수 UT 위에 있다는 사실을 무시하게 되어, 모든 곳에서 10–80% 과대 예측한다.

출력 특성과 VDsat 궤적

SIMULATOR

ID–VDS — 정확한 곡선, 제곱 법칙, 핀치오프 궤적

VDsat = (VGS−VT)/n
ID,sat
선형 영역 ron (VDS→0)
영역
녹색 점선 포물선이 VDsat 궤적이다. 강반전에서는 VDsat가 VGS를 따라 커지므로, 큰 VGS에서 포화를 유지하려면 그만큼 큰 VDS(헤드룸)가 필요하다 — 저전압 설계에서 약반전·중간 반전이 매력적인 이유 중 하나다.

VT는 하나가 아니다

측정에서 VT를 뽑는 방법은 여러 가지이고, 방법마다 값이 다르다. 이유는 간단하다 — 약반전에서 강반전으로의 전이는 연속적이라서, '여기서부터'라는 날카로운 점이 없다.

SIMULATOR

VT 추출법 비교

방법
2φF 정의
선형 외삽
√ID 외삽
정전류
gm 미분 최대
선형 외삽은 최대 gm 점의 접선이 VGS축과 만나는 점에서 VDS/2를 뺀 값. √ID 외삽은 포화 영역에서 √ID–VGS 직선의 절편. 강반전 기반 방법(외삽)들은 2φF 정의보다 수십~백 mV 높게 나오고, 정전류법은 기준 전류를 어디로 잡느냐에 따라 달라진다. VGS−VT로 영역을 판별할 때는 어떤 VT인지 반드시 확인하자.

장채널을 벗어나면

이 책의 기본 소자(L = 1 µm)는 장채널이라 생략했지만, 실제 강반전 소자에는 두 가지 효과가 더해진다.

이동도 열화

  • 수직 전계 ↑ → 표면 산란 ↑ → µeff ↓
  • µeff = µ0/(1+θ(VGS−VT))
  • 강반전 깊숙이에서 전류가 제곱보다 덜 증가

속도 포화

  • 수평 전계가 ~10⁴ V/cm를 넘으면 전자 속도가 vsat에 포화
  • 짧은 L에서 ID ∝ (VGS−VT)로 선형화
  • 약반전에는 거의 영향 없음 (전계가 작으므로)

두 효과 모두 강반전에서만 중요하다는 점에 주목하자. 약반전의 지수 법칙은 단채널 소자에서도 놀랄 만큼 잘 유지된다(대신 DIBL로 VT가 VDS에 따라 움직인다).

핵심 정리

  1. 제곱 법칙은 Qi ≈ Cox(VGS−VT−nV), 드리프트만 가정 → 강반전 전용.
  2. ID,sat = (β/2n)(VGS−VT)², VDsat = (VGS−VT)/n.
  3. 피팅 VT를 써도 제곱 법칙 오차 < 10%는 IC ≳ 40(VGS ≳ 1 V)에서야 가능. IC = 10 경계에서 약 30%, VT 근처와 그 아래에서는 완전히 틀린다.
  4. VT 값은 추출법에 따라 수십~100 mV 다르다. 영역 판별 시 어떤 VT인지 확인.

확인 퀴즈