Chapter 09

gm을 키우는 법: 트랜지스터 입장에서

증폭기 이득, 대역폭, 노이즈 — 거의 모든 아날로그 성능이 gm에 비례한다. 그런데 "gm을 올리려면 W/L을 키워라"는 조언은 반만 맞다. 어느 영역에 있느냐에 따라 같은 손잡이가 잘 듣기도, 전혀 듣지 않기도 한다. 이 장에서는 트랜지스터 하나를 놓고 gm을 올리는 모든 방법을 영역별로 따져 본다.

gm = 효율 × 전류

가장 쓸모 있는 한 줄은 이것이다.

\[ g_m=\underbrace{\Big(\frac{g_m}{I_D}\Big)}_{\text{효율: 반전 정도로 결정}}\times\underbrace{I_D}_{\text{전류: 전력으로 결정}} \]

그러니까 gm을 올리는 방법은 원리적으로 두 가지뿐이다. ① 전류를 더 쓰거나, ② 같은 전류에서 효율 gm/ID를 높이거나. 그리고 8장에서 본 것처럼 효율은 반전 정도(IC)의 함수이므로, ②는 곧 "소자를 더 약반전 쪽으로 보내라"는 뜻이다. W/L을 키우는 것, tox를 줄이는 것, 이동도를 올리는 것은 모두 결국 이 두 손잡이 중 하나를 돌리는 다른 방법일 뿐이다.

약반전: gm = ID/(nUT)

  • 효율이 이미 최대 (≈ 28.8 /V)
  • W/L, µ, Cox에 무관
  • 올릴 수 있는 것: ID, (n ↓), (T ↓)
  • ID 2배 → gm 2배

중간 반전: EKV

  • \(g_m=\frac{I_D}{nU_T}\cdot\frac{2}{1+\sqrt{1+4IC}}\)
  • 모든 손잡이가 '조금씩' 듣는다
  • W/L 2배 → 약 1.1–1.35배

강반전: \(g_m=\sqrt{2\mu C_{ox}\frac{W}{L}\frac{I_D}{n}}\)

  • = 2ID/Vov = (β/n)Vov
  • ID, W/L, µ, Cox 모두 제곱근으로 효과
  • ID 2배 → √2배, W/L 2배 → √2배
감 잡기: "전류 고정"이냐 "전압 고정"이냐

"W/L을 2배로 하면 gm이 2배"라는 말은 VGS를 고정했을 때의 이야기다. 이 경우 전류도 2배가 되므로 사실상 ①(전류)을 돌린 것이다. 실제 아날로그 회로는 대개 전류원으로 바이어스하므로 ID 고정이 기준이고, 그때 W/L 2배의 효과는 강반전에서 √2배, 약반전에서 거의 0이다.

gm–ID 지도: 어느 손잡이가 듣는가

W/L별로 gm을 ID에 대해 로그–로그로 그리면 모든 것이 한눈에 보인다. 약반전에서는 모든 곡선이 하나의 직선 ID/(nUT)(기울기 1)로 합쳐지고, 강반전에서는 W/L마다 갈라진 기울기 ½의 직선이 된다.

SIMULATOR

gm vs ID — W/L 가족과 약반전 상한

목표: 지금 gm의
gm
약반전 상한 ID/(nUT)
상한 대비
IC · 영역
∂ln gm/∂ln ID
∂ln gm/∂ln(W/L)

두 민감도(∂ln gm/∂ln ID, ∂ln gm/∂ln(W/L))는 "그 손잡이를 1% 돌리면 gm이 몇 % 오르나"다. 강반전에서는 둘 다 0.5, 약반전에서는 1과 0. 그리고 두 민감도의 합은 영역과 상관없이 항상 1이다 — 전류 밀도(ID/(W/L))만 같으면 gm/ID가 같기 때문이다.

손잡이 대시보드

현재 동작점에서 손잡이 하나씩만 돌렸을 때 gm이 얼마나 변하는지 정확한 모델로 계산했다. 바이어스 방식(전류 고정/전압 고정)에 따라 결과가 크게 달라지는 것을 확인하자.

SIMULATOR

손잡이 하나씩 돌려 보기 — gm 변화율

바이어스 방식
출발 동작점
기준 gm
기준 IC
기준 VGS
기준 소자W/L = 2, 70 Å, 300 K
막대 = gm 변화율, 막대 끝 숫자 옆 괄호 = 그때 ID 변화(전압 고정 모드에서 중요). 막대 색 = 바뀐 뒤의 영역. 관찰 포인트: ① 약반전에서는 ID 말고는 거의 아무것도 듣지 않는다(tox만 n을 통해 조금). ② 강반전에서는 ID, W/L, tox, µ가 모두 비슷하게 √ 효과. ③ 전압 고정 모드에서는 W/L 2배가 gm도 전류도 정확히 2배 — 공짜가 아니다. ④ 온도 상승은 강반전에서 µ 감소로, 약반전에서 UT 증가로 gm을 깎는다.
손잡이 (ID 고정)약반전강반전대가 · 부작용
ID ↑ ×2×2×√2 ≈ 1.41전력 ×2. 강반전 쪽으로 이동(효율 ↓)
W/L ↑ ×2≈ ×1×√2면적·Cgg ↑ → fT ↓, 약반전 쪽으로 이동
tox ↓ ×½×1.1~1.2 (n ↓)×√2 (Cox ↑)공정 선택. 게이트 누설 ↑, VT 변화
µ ↑ (스트레인 등)≈ ×1×√(µ비)공정 선택. NMOS가 PMOS보다 유리한 이유
L ↓ (W/L 유지)≈ ×1≈ ×1 (장채널)면적·Cgg ↓ → fT ↑. 단, ro ↓, 단채널 효과
T ↑∝ 1/T∝ T−0.75 (µ ∝ T−1.5)환경 조건. 바이어스 회로로 보상
VSB ↑ (소스 ≠ 바디)≈ ×1 (n ↓로 아주 약간 ↑)≈ ×1.03 (n ↓, 같은 ID)gm 자체는 거의 그대로지만 VT ↑ → 헤드룸 ↓, 그리고 gmb가 생겨 회로 이득을 깎는다

W/L을 키우면 생기는 일: 수확 체감

전류를 고정하고 W/L만 키워 보자. 처음(강반전)에는 √(W/L)로 gm이 오르지만, IC가 1 아래로 내려가면서 증가가 둔해지고, 약반전에서는 상한 ID/(nUT)에 붙어 더 이상 오르지 않는다. 그 사이 게이트 면적은 W/L에 비례해 계속 커지고 fT는 떨어진다.

SIMULATOR

ID 고정, W/L 스윕 — gm과 대가

gm / 상한
IC
게이트 면적 (L = 1 µm)
fT (근사)
W/L 2배 시 gm 이득
빨간 점선 = 약반전 상한 ID/(nUT). 굵은 점선 박스 = 이 책의 기본 범위 W/L < 5. 10 µA에서 W/L < 5로는 IC가 6 아래로 내려가지 않아 상한의 약 30%까지만 얻는다. 상한의 90%까지 가려면 W/L이 수백이 필요하고, 그때 fT는 1/10 이하로 떨어진다. "효율을 다 짜내는 것"이 늘 정답은 아니다.
W/L < 5 소자에서의 결론

W/L이 5 아래로 묶여 있으면 Ispec ≤ 1.5 µA다. 그래서 ID가 15 µA를 넘으면 무조건 강반전(IC > 10)이고, 효율 손잡이(W/L)의 여유가 거의 없다. 이때 gm을 올리는 현실적인 손잡이는 전류(√로 듣는다)와 소자를 여러 개 병렬로 쓰는 것(사실상 W/L ↑)뿐이다. 반대로 ID가 150 nA 아래라면 W/L < 5로도 약반전에 들어가 이미 상한에 가깝다 — 그때는 W/L을 만질 이유가 없다.

gm을 깎아 먹는 함정

① 트라이오드로 떨어지기

gm = ∂ID/∂VGS는 포화 영역에서 최대다. VDS가 VDsat 아래로 내려가면 강반전 gm ≈ βVDS로 급감한다. 약반전은 VDsat ≈ 0.1 V라 이 함정에 잘 빠지지 않지만, 강반전은 VDsat = Vov/n이 수백 mV라 저전압 회로에서 흔히 빠진다.

② 이동도 열화와 속도 포화

강반전에서 Vov를 계속 올리면 수직 전계가 이동도를 깎고(θ), 단채널에서는 속도 포화로 gm이 W·Cox·vsat에 포화된다. 전류를 늘려도 gm이 더 이상 따라오지 않는 '천장'이다.

SIMULATOR

gm vs VDS, gm vs VGS

gm vs VDS (트라이오드 함정)
gm vs VGS (선형 축, 포화)
gm (현재 VDS)
gm (포화)
손실
VDsat ≈ (VGS−VT)/n
왼쪽: VGS를 낮춰 약반전(≈ 0.4 V)으로 보내면 0.1 V만 넘어도 gm이 꽉 차지만, VGS = 1.5 V에서는 0.75 V 이상이 필요하다. 오른쪽: θ를 켜면 gm–VGS 직선이 휘어 β/(nθ)를 향해 평탄해진다 — 그 근처부터는 VGS(전류)를 더 올려도 gm이 거의 늘지 않으니 전류 낭비다. (단채널에서는 속도 포화가 같은 모양의 천장을 만든다.)

③ 기판 효과: gmb

소스가 바디에 붙어 있지 않으면 바디도 '두 번째 게이트'가 되어 gmb = (n−1)gm의 트랜스컨덕턴스가 생긴다. 소스 팔로어에서 이득은 gm/(gm+gmb) = 1/n ≈ 0.75로 떨어진다. 기준 소자(n ≈ 1.34)에서 gmb/gm ≈ 0.34 — 무시할 수 없는 크기다. tox를 줄이거나 도핑을 낮추면(n ↓) 줄어든다.

gm 올리기 체크리스트

영역부터 확인IC 또는 gm/ID로 지금 어디인지 (7·8·10장)
약반전이면전류를 늘리는 것 외엔 거의 없음. W/L ↑는 낭비
강반전이면W/L ↑ 또는 ID ↑ (둘 다 √). 효율 대비 전력이면 W/L 쪽
포화 확인VDS > VDsat + 여유
바디 확인소스=바디 연결 가능하면 gmb 손실 제거
대가 확인면적·Cgg·fT·헤드룸

핵심 정리

  1. gm = (gm/ID) × ID. 손잡이는 결국 "전류"와 "효율(= 반전 정도)" 두 가지.
  2. 약반전: gm = ID/(nUT) — W/L, µ, Cox 무관. 강반전: gm = √(2µCox(W/L)ID/n) — 모두 √로.
  3. ID 고정에서 W/L ↑는 강반전에서만 효과가 있고, 약반전 상한에 가까워질수록 수확 체감. 면적과 fT를 대가로 치른다.
  4. 민감도 합: ∂ln gm/∂ln ID + ∂ln gm/∂ln(W/L) = 1 (강반전 ½+½, 약반전 1+0).
  5. 함정: 트라이오드(VDS < VDsat), 이동도 열화·속도 포화, 기판 효과(gmb = (n−1)gm).

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